Produit extérieur

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Définition et propriétés de base

Soient deux tenseurs u et v, le produit extérieur est défini comme ` u^^^v = u \otimes v - v \otimes u ` où `^^^` note le produit extérieur et `\otimes` le produit tensoriel. Oralement, on lit ces deux opérateurs : "U extérieur V", et "U tensoriel V", respectivement.

Ainsi, le produit extérieur est construit à partir du produit tensoriel, antisymétrisé, c'est à dire que tout échange de deux indices de même variance dans une coordonnée en change le signe : si A = (aij), alors aij = − aji    pour tout i et j (ce qui implique que aii = 0 pour tout i).

Le produit extérieur n'est pas commutatif mais anticommutatif. Il est associatif.

Algèbre extérieure

L'algèbre extérieure est une partie (une restriction) de l'algèbre tensorielle. On a aussi dit « Algèbre des multivecteurs ». L'algèbre extérieure a été inventée par Hermann Grassmann (1809-1877) : lineale Ausdehnungslehre, 1844.

D'une manière générale, l'algèbre tensorielle est le langage naturel de toute la physique macroscopique, géométrisable dans notre espace-temps, à nous humains, êtres macroscopiques. Aux échelles modestes de l'être humain, ces algèbres tensorielles sont sur des espaces euclidiens de dimension 2 ou 3 pour la mécanique, pseudo-euclidien de dimension 4 pour l'électromagnétisme relativiste, autrement dit sur des variétés plates, à courbure nulle, ou faible. Ceci est valide jusqu'à l'échelle d'une maille cristalline, et pas plus petit : plus petit, il n'existe plus de validité de notre "espace", c'est là une notion irrémédiablement macroscopique.

En astrophysique, près d'astres très massifs, voire de trous noirs, il faut travailler sur des variétés non euclidiennes, avec courbure notable. La métrique est alors plus difficile.

Exemple physique élémentaire

Nous travaillerons d'abord directement avec les êtres géométriques indispensables au physicien. Nous verrons ultérieurement la traduction en coordonnées selon les bases vectorielles choisies.

Le produit extérieur ` \vec {OA} \wedge \vec {OB} ` de deux vecteurs du genre longueur orientée, dont les bipoints représentants sont respectivement ` \vec {[OA]} ` et ` \vec {[OB]} `, est l'aire orientée du parallélogramme OACB, tel que le bipoint ` \vec {[OC]} = \vec {[OA]} + \vec {[AC]} ` représente la somme vectorielle ` \vec {OA} + \vec {OB} ` .

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aire d'un parallélogramme

C'est une aire orientée en rotation, selon l'angle orienté, de mesure comprise entre – π et + π , dans le sens qui amène ` \vec {OA} ` vers `\vec {OB} `, en respectant son sens, mais sans s'occuper de leur modules. Vous pouvez montrer ce sens de rotation avec les mains.

Un vecteur a une direction de droite. Donc le produit extérieur de deux vecteurs a une direction de plan : celle qui contient les deux directions de droite.

Unité : le produit extérieur de deux vecteurs du genre longueur, en mètres, est du genre aire, et son unité est le mètre carré.

Quel est son module ? Multiplier le module de ` \vec {OA} ` par le module de ` \vec {OB} ` , et par le sinus de l'angle ` (\vec {OA}, \vec {OB} ) `

Associativité : ordre deux, trois...

Du produit tensoriel et de l'addition, le produit extérieur hérite l'associativité. L'exemple courant est le produit extérieur de trois vecteurs, qui est le volume (orienté) du parallélipipède construit sur ces trois vecteurs.

Application en cristallographie :

Au signe près, le volume de la maille définie par les trois vecteurs de base (qui peut fort bien être triclinique : tous angles différents d'un droit, trois longueurs de base différentes) `\vec a, \vec b, \vec c`, est le produit extérieur `\vec a ^^^ \vec b ^^^ \vec c `.

Ce volume orienté est donc un tenseur antisymétrique du troisième ordre, ou de rang trois, alors que l'aire orientée est du deuxième ordre, ou de rang deux. Les tenseurs du premier ordre sont les vecteurs ordinaires, et leurs inverses.

Autres tenseurs antisymétriques de rang deux

Oui bien sûr, si vous allez dans l'atelier de mécanique, ou dans celui d'électrotechnique, et que vous y lâchez des gros mots comme tenseur antisymétrique de rang deux, vous allez vous faire lyncher... C'est pourquoi, en 1995 J. Lavau a proposé de rebaptiser ces êtres géométriques plus brièvement : "tourneurs". Ce sont en effet des êtres de rotation, alors que les vecteurs vrais sont des êtres de translation. Ce rebaptême est une innovation, et elle est encore loin de faire l'unanimité.

Sont des tourneurs :

Le moment d'une force, ou d'un couple de forces (en newton ^ mètre, ou joule.radian par seconde),

La vitesse angulaire (en radian par seconde),

La vitesse aréolaire (en mètres carrés fois radians par seconde),

Le moment angulaire (en joule.seconde par radian),

Le champ magnétique B (en tesla, ou joule.seconde par mètre carré, et par coulomb, et par radian),

Le flux magnétique Φ, ou circulation du potentiel magnétique ` \vec A ` le long d'une boucle fermée,

Le moment magnétique d'un aimant ou d'une particule.

La densité volumique de moment magnétique, ou champ H' = B/ μ,

A ne pas confondre avec les vecteurs de bonne foi !

Vitesse, accélération, force, champ électrique, potentiel magnétique, restent des vecteurs de bonne foi.


Histoire : De quand datent les cris d'alerte sur une mathématisation incorrecte ?

Tout au long du 19e siècle, et surtout à la suite de Faraday et de ses expériences de spectres de limaille de fer, les physiciens ont longuement hésité et disputé sur la nature géométrique du courant électrique, du champ électrique, du champ magnétique : tourbillons ou vecteurs ? Ou mousses de tourbillons ?

Le premier pionnier à avoir attiré l'attention sur le divorce entre l'outil mathématique dérivé des quaternions de Hamilton, et les symétries des phénomènes magnétiques, fut James Clerk Maxwell, dans son Treatise on Electricity and Magnetism, § 15, de 1873. Qu'il soit de l'époque, ou actuel, l'outil vectoriel trompe : les symétries qu'il prédit pour le champ magnétique sont toutes fausses.

Le second pionnier notable fut Pierre Curie, qui a soutenu sa thèse en 1894 sur la symétrie des phénomènes physiques, symétrie d'un champ électrique et d'un champ magnétique (notamment piézoélectricité et magnétostriction dans les cristaux). Pierre Curie a confirmé avec force que décrire le champ magnétique par un vecteur est un non-sens, car contradictoire avec toutes les symétries. Malheureusement lui non plus n'avait pas sous la main l'outil mathématique adéquat. L'outil tensoriel existait pourtant, publié, mais il n'en a jamais eu connaissance, et est mort en 1906.

Il semble qu'il ait fallu attendre 1921, pour que soient enfin publiées, par Albert Einstein, les coordonnées complètes du champ magnétique comme tenseur antisymétrique du second ordre, dans le texte de la première conférence de Princeton.

Complément de définitions indispensables à la physique élémentaire,

il nous faut encore définir l'inverse d'un vecteur, par la relation scalaire ` \vec v . \vec v ^{ -1}` = 1 (où 1 est un vrai nombre, le nombre 1 sans unité physique ; donc ` \vec v ` et ` \vec v ^{ -1}` sont de dimension physique inverse. Par exemple si v est du genre longueur, en mètres, alors v-1 est du genre gradient, en mètres-1). Autrement dit : ` \vec v ^{ -1} = \frac{\vec v}{|v|^2} `

Prenons l'exemple de la vitesse angulaire, dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme. Soit un "point matériel" M en rotation uniforme autour d'un centre O, à la distance R (fixe) de ce centre de rotation O. Le plan de rotation est fixe.

L'opérateur "vitesse angulaire" (qui contient un opérateur "quart de tour") appliqué au rayon vecteur (de l'axe au point M), donne la vitesse périphérique : ` \vec v = \omega . \vec R `

[[2]]

Mouvement circulaire]

On peut inverser cette relation : ` \omega = \vec R^{-1} ^^^ \vec v `

On peut aisément vérifier avec les mains, que le sens de rotation de ω respecte rigoureusement et les lois de la physique, et votre sens kinesthésique. Dans le mouvement circulaire uniforme, quoique les vecteurs ` \vec v ` et `\vec R ` soient constamment variables, leur quotient ω est constant.

On le dessine aisément : [[3]]

Omega : connecteur entre R et V

On aura remarqué qu'à phénomène plan, représentation plane, dans le plan stable qui contient le point matériel.

Et cela s'étend à la relation entre la vitesse angulaire, la vitesse périphérique, et l'accélération centripète : [[4]]

Omega : connecteur entre R et V, et entre V et gamma, accélération centripète

Première conclusion pratique, avant mathématisation plus savante : avec un tourneur et des vecteurs, tout peut se mimer avec les mains, tout peut se dessiner en géométrie plane dans un plan, c'est à dire sur la direction de plan propre au tourneur - ou tenseur antisymétrique de rang deux.

Le produit extérieur exprimé en coordonnées.

Prendre brut l'héritage du passé poserait problème : par le passé, les bases choisies étaient toutes tacitement très particulières, orthonormées ; de plus on s'interdisait les changements d'unités, et il ne restait plus qu'à s'occuper des coordonnées dans ce cas particulier. Or, plusieurs des convictions ainsi bien établies sont fausses. Par exemple l'antisymétrie des coordonnées n'est préservée en base quelconque que si ces coordonnées sont toutes contravariantes, ou toutes covariantes, mais pas si ces coordonnées sont mixtes. Pourquoi ? Parce que l'antisymétrisation ne peut porter que sur des indices de même nature : tous covariants, ou tous contravariants.

Or le grand apport de la représentation tensorielle est de rendre les expressions des lois physiques indépendantes de la base, de l'observateur et de son point de vue particulier.

Cas basique, deux vecteurs en coordonnées contravariantes

Dimension de l'espace : 2

Dans l'espace vectoriel E, nous nous donnons une base de deux vecteurs : {`\vec a`, `\vec b`}, leurs modules respectifs a et b, leur angle γ. Nous exprimons son carré tensoriel symétrisé, ou tenseur métrique :

`\frac{\vec a \otimes \vec b + \vec b \otimes \vec a} 2 = ((a^2, a.b.cos \gamma ),(a.b.cos \gamma, b^2)) = g_{ij}`


Autrement dit, en un langage plus généralisable, nous réécrivons cette base comme {ei}, et son tenseur métrique s'écrit :

`g_{ij} = \frac{e_i \otimes e_j + e_j \otimes e_i} 2 = (( \vec e _1 . \vec e_1 , \vec e _1 . \vec e_2 ),( \vec e _2 . \vec e_1 , \vec e _2 . \vec e_2 ))`

Ces indices en bas désignent une covariance : par tautologie, la base varie avec elle même.

Les indices en haut désigneront la contravariance : ce qui varie en sens inverse de la base. Par exemple, un prix étant une grandeur physique de la vie courante, et l'unité de compte monétaire étant la base, le nombre qui exprime ce prix en fonction de l'unité monétaire varie en sens contraire : 10 € = 65,5957 F.

Tel que nous l'avons exprimé, le tenseur métrique de cette base est deux fois covariant.

On peut définir le tenseur métrique réciproque, deux fois contravariant, comme le tenseur inverse par le produit biscalaire, ou bicontracté suivant :

`g_{ij}.g^{ij} = 1 `

Soient alors deux vecteurs u et v , de coordonnées u1, u2, v1 et v2, sur la base {`\vec a`, `\vec b`}.

Leur produit scalaire s'exprime par le tenseur métrique, avec convention d'Einstein par le produit bicontracté : ` u.v = g_{ij}u^iv^j `

Sur la base de E `\otimes`E, leur produit extérieur w a pour coordonnées :

` w^{ij} = u^i ^^ v^j = u^i \otimes v^j - v^i \otimes u^j = ((0 , u^1v^2-v^1u^2) , (u^2v^1-v^2u^1 , 0)) = (u^1v^2-v^1u^2) .((0 , 1 ),(-1 , 0 )) `

En dimension 2, ce produit extérieur n'a qu'une seule coordonnée qui soit libre et non nulle, et ses coordonnées tensorielles complètes sont antisymétriques. Ici, elles ont été calculées deux fois contravariantes avec la base.

En dimension quelconque, tout produit extérieur de tout couple de vecteurs appartient à l'espace produit extérieur de chaque direction de droite de ces vecteurs. Il n'a qu'une seule coordonnée libre sur cette direction de plan propre, et il suffit d'un changement de repère pour faire apparaître cette composante libre seule, toutes les autres cooordonnées étant nulles. Pour tout problème, il existe toujours un repère tel qu'on retrouve notre cas basique en dimension 2.

Application : le rotationnel

Anticipant sur les formes différentielles, on définit l'opérateur rotationnel comme la dérivée covariante antisymétrisée, ou encore (en coordonnées cartésiennes) comme le produit extérieur de l'opérateur nabla sur un vecteur, exprimé en coordonnées covariantes (en effet, on ne peut antisymétriser que sur indices de même variance) :

`rot \ \vec u = \nabla ^^ \vec u = (( 0 , \partial_x u_y - \partial_y u_x ),( \partial_y u_x - \partial_x u_y , 0 ))`

Ce que nous avons écrit là en dimension 2 se généralise à une dimension quelconque.

On convertit les coordonnées contravariantes en covariantes, par multiplication contractée avec le tenseur métrique réciproque : `g_{ij}.u^i = u_j `

Application en cinématique : le rotationnel du champ des vitesses en tout point d'un solide indéformable, est partout identique à la vitesse angulaire de ce solide en rotation. Il a toutes les propriétés algébriques et géométriques d'un tourneur. Que l'on traite un solide plan dans un espace de dimension 2, ou d'un cas général en dimension 3, n'a aucune importance.

L'opérateur rotationnel est utilisé dans le théorème de Stokes, qui se généralise ainsi : la somme d'une forme différentielle sur le bord d'une variété à bords, est égale à la somme de la différentielle de cette forme différentielle sur la totalité de cette variété à bords.


(à suivre...)

Dimension de l'espace supérieure à 2 : 3, 4, ... n...

(à suivre...)

Liens externes

Les tourneurs, approche élémentaire. http://lavaujac.club.fr/SYNTAXE2_.pdf

Lemmes pour l'algèbre des tourneurs. http://lavaujac.club.fr/syntaxe3.pdf . Contient un cours complet de métrique pour la cristallographie.